简谐运动浅析

从回复力开始浅析简谐运动，再从弹簧振子回到简谐运动的本质。

定义

当某物体进行简谐运动时，物体所受的力的大小与位移的大小成正比，并且力总是指向平衡位置.

回复力

考虑一水平面上无摩擦弹簧振子，弹性系数为 \(k\)，弹簧伸长量为 \(x\)，则物体受弹簧力为： \[ F=-kx \] 则称 \(F\) 为物体受到的回复力. 回复力是简谐振动的运动学核心.

与圆周运动的关系

记该简谐运动的振幅 \(A\)，周期 \(T\)，频率 \(f\)，角频率 \(\omega\).

简谐振动实质上可以看作是圆周运动在一维坐标轴上的投影.

则简谐运动有数学描述： \[ x(t)=A\sin(\omega t+\varphi) \] . 其中 \(\varphi\) 为该运动的初相位，\(\omega t +\varphi\) 为该运动的相位.

速度与加速度

对位移方程 \[ x(t)=A\cos(\omega t+\varphi) \] 求导，可得速度方程： \[ v(t)=-\omega A\sin(\omega t+\varphi) \] . 再次求导： \[ a(t)=-\omega^2A\sin(\omega t+\varphi)=-\omega^2x(t) \] . 根据牛顿第二定律： \[ -kx=ma \] ，可得： \[ k=m\omega^2 \] . 这是简谐运动中重要的一个等量关系.

由上述可得： \[ T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} \] .

能量守恒

显然，该系统符合机械能守恒定律. 我们有： \[ \dfrac{1}{2}mv_0^2+\dfrac{1}{2}kl_0^2-mgh_0=\dfrac{1}{2}mv_p^2+\dfrac{1}{2}kl_p^2-mgh_p \] ，其中 \(l\) 为弹簧伸长量.

竖直方向上的弹簧振子

考虑一竖直方向的弹簧振子，有重力、无摩擦. 弹簧自然长为 \(l_o\)，到达平衡位置的伸长量为 \(l\).

则有： \[ F=-k(l+x) \] . 此时有： \[ T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} \] . 不难发现，比例系数仍只和弹性系数相关，而与重力无关.

同时我们定义简谐运动的势能： \[ U=\dfrac{1}{2}kx^2 \] ，其中 \(x\) 为物体偏离平衡重心的偏移量.

则我们有能量守恒公式： \[ \dfrac{1}{2}mv_0^2+\dfrac{1}{2}kx_0^2=\dfrac{1}{2}mv_p^2+\dfrac{1}{2}kx_p^2 \] . 我们可以发现，这个公式与重力势能无关. 现在我们尝试证明两个等式等价：

记到达平衡位置的伸长量为 \(l\)，偏离平衡位置的伸长量为 \(x\). 同时定义平衡位置的水平面为重力势能的零势能面. \[ \begin{align*} E&=\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{2}k(l+x)^2-mgx\\ &=\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{2}kl^2+\dfrac{1}{2}kx^2+klx-mgx \end{align*} \] . 由于 \[ kl=mg \] ，所以： \[ \begin{align*} E&=\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{2}k(l+x)^2-mgx\\ &=\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{2}kl^2+\dfrac{1}{2}kx^2+mgx-mgx\\ &=\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{2}kl^2+\dfrac{1}{2}kx^2\\ \end{align*} \] . 而显然，对于 \(\Delta E\)，\(\Delta l\) 为 \(0\). 所以有： \[ \dfrac{1}{2}mv_0^2+\dfrac{1}{2}kx_0^2=\dfrac{1}{2}mv_p^2+\dfrac{1}{2}kx_p^2 \] . 得证.

从弹簧振子回归本质

由上述可知，重力仅改变了该弹簧振子间歇运动的平衡位置，对比例系数没有直接关联.

尝试回到定义，可知简谐运动即为满足 \(F=-kx\) 的运动，因此先求出该公式并得到 \(k\) 是至关重要的. 只是在大多数情况下，弹簧振子的弹性系数 \(k\) 与简谐运动的比例系数 \(k\) 一致.