热力学学习笔记。

熱

固体・液体

比熱

\[ Q=mc\Delta T \]

，其中 \(c\) 是比熱（比热容），单位为 \(\text{J}/\text{kg}\cdot\text{K}\)。

使物体温度上升 \(1\text{K}\) 所需要的热量被称为熱容量。

気体

理想気体の状態方程式

ボイルの法則：\(T\) 一定时，\(PV\) 为定值。
シャルルの法則：\(P\) 一定时，\(\dfrac{V}{T}\) 为定值。
ボイル・シャルルの法則：\(\dfrac{PV}{T}\) 为定值。

理想气体状态方程： \[ PV=nRT \] 其中 \(R\) 为気体定数。

分子運動

考虑一边长为 \(L\) 的正方体中有 \(N\) 个分子。考虑一质量为 \(m\) 的分子在 \(x\) 方向上以 \(v_x\) 的速度与面 \(S\) 发生弹性碰撞，根据动量定理，则有 \(S\) 对分子的冲量： \[ I'=\Delta \overrightarrow p=-mv_x-mv_x=-2mv_x \] 分子对 \(S\) 的冲量： \[ I=-I'=2mv_x \]

\(t\) 时间内分子在 \(x\) 方向上总路程为 \(v_xt\)，与 \(S\) 碰撞次数为 \(\dfrac{v_xt}{2L}\)，则总冲量为： \[ I_x=I\cdot\frac{v_xt}{2L}=\dfrac{mv_x^2t}{L} \] 对于总分子量 \(N\) 的气体，有在 \(x\) 方向上的总冲量： \[ I_{Nx}=NI_x=\dfrac{Nm\overline{v_x^2}t}{L} \] 则有气体对 \(S\) 的总压力： \[ F_x=\dfrac{I_{Nx}}{t}=\dfrac{Nm\overline{v_x^2}}{L} \] 则对于 \(\overline{v_x}=\overline{v_y}=\overline{v_z}\)，\(\overline{v^2}=\overline{v_x^2}+\overline{v_y^2}+\overline{v_z^2}=3\overline{v_x^2}\)。

可得： \[ F=\dfrac{Nm\overline{v^2}}{L} \] 有气体对 \(S\) 的压强： \[ P=\dfrac{F}{L^2}=\dfrac{Nm\overline{v^2}}{3L^3}=\dfrac{Nm\overline{v^2}}{3V} \] 由理想气体状态方程： \[ PV=nRT=\dfrac{N}{N_A}RT=\dfrac{Nm\overline{v^2}}{3} \] 则有： \[ \overline{E_k}=\dfrac{1}{2}m\overline{v^2}=\dfrac{3RT}{2N_A}=\dfrac{3}{2}kT \] 即为分子的平均动能，其中 \(k\) 被称为ボルツマン定数。

気体の内部エネルギー

对于単原子気体： \[ U=N\overline{E_k}=\dfrac{3}{2}nRT \] 由此可得，气体内能仅与 \(T\) 有关。

值得注意的是，\(U=\dfrac{3}{2}nRT\) 仅能在单原子气体的情况下适用，而 \(\overline{E_k}=\dfrac{3}{2}kT\) 均可使用。

気体の仕事

考虑一定压强为 \(P\) 的气体，对其加热时推动了面积为 \(S\) 的活塞 \(\Delta l\) 的距离，此时气体对外做功 \(W'\) 为： \[ W'=PS\Delta l=P\Delta V \] 且有气体被做功： \[ W=-W'=-P\Delta V \]

\(P-V\) グラフ

\(P-V\) 图中某线段下面积即为功；对于等温变化的直角双曲线的一支（被称为等温線），越往右上温度越高，反之越低。

熱力学第１法則

热力学第一定律： \[ \Delta U=Q+W \] 其中，当内能增加、吸收热量、被做功时，符号为正；内能减少、释放热量、对外做功时，符号为负。

四种特殊变化：

等温変化：\(\Delta U=0\)
断熱変化：\(Q=0\)
定積変化：\(W=0\)
定圧変化：\(W=-P\Delta V\) または \(W'=P\Delta V\)

気体の比熱

使 \(1\text{mol}\) 气体温度上升 \(1\text{K}\) 所需要的热量被称为モル比熱。定積モル比熱记作 \(C_V\)，定圧モル比熱记作 \(C_P\)，则有：

定積変化：\(Q=nC_V\Delta T\)
定圧変化：\(Q=nC_P\Delta T\)

且有 \(C_P=C_V+R\)，并且对于单原子气体，\(C_V=\dfrac{3}{2}R,C_P=\dfrac{5}{2}R\)。

下面尝试证明 \(C_P=C_V+R\)：

考虑 \(n\text{mol}\) 定积摩尔比热容为 \(C_V\) 的气体，使其温度上升 \(\Delta T\)。

在定积变化的情况下： \[ \Delta U_V=Q_V=nC_V\Delta T \] 在定压变化的情况下： \[ W_P=-P\Delta V=-nR\Delta T\\ \Delta U_P=W_P+Q_P\\ Q_P=\Delta U_P-W_P=\Delta U_P+nR\Delta T \] 由于上升温度相同，则内能变化也相同，即： \[ \Delta U_P=\Delta U_BV=nC_V\Delta T \] 有： \[ Q_P=nC_P\Delta T=n(C_V+R)\Delta T \] 即： \[ C_P=C_V+R \]

断熱変化

在 \(P-V\) 图上，断熱線呈现出比等温线更加陡峭的趋势。对于断热压缩来说，压强上升的同时温度上升，因此同压强的点会向右偏移；反之，对于断热膨胀，压强下降、温度下降，同压强的点会向左偏移。

断热变化单独的公式：\(PV^{\gamma}\) 为定值，其中 \(\gamma=\dfrac{C_P}{C_V}\)。

変化のまとめ

	\(PV=nRT\)	\(\Delta U=Q+W\)
定積変化	\(P\propto T\)	\(Q=nC_V\Delta T,W=0\)
定圧変化	\(V\propto T\)	\(Q=nC_P\Delta T,W=-P\Delta V\)
等温変化	\(PV=k\)	\(\Delta U=0\)
断熱変化	\(PV^\gamma=k\)	\(Q=0\)

\[ \Delta U=nC_V\Delta T \]

熱効率

气体在一个热循环中吸收的总热量为 \(Q_{IN}\)，对外做的正味の仕事为 \(W_{正味}’\)，则热效率为： \[ e=\dfrac{W_{正味}’}{Q_{IN}} \] 其中 \(W_{正味}’\) 为 \(P-V\) 图中热循环所围成的面积。